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小学奥数等差数列三个公式+三道例题+附加题

2018-09-06 09:34:44   小升初网     阅读次数:

应某家长要求,再讲一次等差数列

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公式1:求和公式:等差数列求和=(首项+末项)×项数÷2,即:Sn=(a1+an)×n÷2;

公式2:通项公式:第n项=首项+(n-1)×公差,即:an=a1+(n-1)×d;

公式3:项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,即n=(an-a1)÷d+1。

上述三个公式必须掌握

此外,还有一个中项定理,也最好掌握:

中项定理:对于作意一个项数为奇数的等差数列来说,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项与末项和的一半;或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数。

例1:建筑工地有一批砖,码成如右图形状,最上层两块砖,第2层6块砖,第3层10块砖…,依次每层都比其上面一层多4块砖,已知最下层2106块砖,问中间一层多少块砖?这堆砖共有多少块?

解:如果我们把每层砖的块数依次记下来,2,6,10,14,… 容易知道,这是一个等差数列.

方法1:

a1=2, d=4, 利用公式求出an=2106,

则:n=(an-a1)÷d+1=527

这堆砖共有则中间一项为 a264=a1+(264-1)×4=1054.

方法2:(a1+an)×n÷2=(2+2106)×527÷2=555458(块).

则中间一项为(a1+an)÷2=1054

a1=2, d=4, an=2106,

这堆砖共有 1054×527=555458(块).

此题利用中项定理和等差数列公式均可解!

例2:求从1到2000的自然数中,所有偶数之和与所有奇数之和的差.

解:根据题意可列出算式:

(2+4+6+8+…+2000)-(1+3+5+…+1999)

解法1:可以看出,2,4,6,…,2000是一个公差为2的等差数列,1,3,5,…,1999也是一个公差为2的等差数列,且项数均为1000,所以:

原式=(2+2000)×1000÷2-(1+1999)×1000÷2

=1000.

解法2:注意到这两个等差数列的项数相等,公差相等,且对应项差1,所以1000项就差了1000个1,即

原式=1000×1=1000.

例3:100个连续自然数(按从小到大的顺序排列)的和是8450,取出其中第1个,第3个…第99个,再把剩下的50个数相加,得多少?

解:

方法1:要求和,我们可以先把这50个数算出来.

100个连续自然数构成等差数列,且和为8450,则:

由题可知:( 首项+末项)×100÷2=8450,求出:( 首项+末项)=169。

又因为末项比首项大99,所以,末项=首项+99,根据 (首项+末项)=169得到:

首项+末项+99=169,解出:首项=35.

因此,剩下的50个数为:36,38,40,42,44,46…134.这些数构成等差数列,和为(36+134)×50÷2=4250.

方法2:我们考虑这100个自然数分成的两个数列,这两个数列有相同的公差,相同的项数,且剩下的数组成的数列比取走的数组成的数列的相应项总大1,因此,剩下的数的总和比取走的数的总和大50,又因为它们相加的和为8450.所以:

剩下的数总和+取走的数的总和=8450;

剩下的数总和-取走的数的总和=50。

求出:剩下的数的总和为(8450+50)÷2=4250.

(利用两数和已知,两数差已知,求两数)

附加题:x+y+z=1993有多少组正整数解.

朋友们,此题留给大家解一下,答案见最下面。

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答案:l+2+3+…+1991=1983036